Задача 110298

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a , двугранный угол при основании равен 60^o . Найдите радиус сферы, касающейся двух соседних боковых рёбер, противоположной боковой грани и основания.

Решение

Пусть сфера радиуса R с центром O касается основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды PABCD в точке M , боковой грани CPD – в точке N , а боковых рёбер AP и BP – в точках K и L соответственно. Так как PK=PL и центр O сферы равноудалён от точек K и L , то точка O лежит в плоскости, проходящей через середину KL перпендикулярно KL , т.е. в плоскости PEF , где E и F – середины сторон основания AB и CD соответственно. Плоскость PEF перпендикулярна прямым AB и CD . Значит, PEF – линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре AB . По условию задачи PEF = 60^o . Поэтому PEF – равносторонний треугольник со стороной a . Рассмотрим сечение сферы плоскостью PEF . Получим окружность радиуса R с центром O , касающуюся сторон FE и PF равностороннего треугольника PEF соответственно в точках M и N . Поскольку FO – биссектриса угла PFE равностороннего треугольника PFE , продолжение отрезка FO проходит через центр Q окружности пересечения указанной сферы с плоскостью грани PAB . Обозначим PN = PL = PK = x . Из прямоугольных треугольников BEP и PQL находим, что

BP = = = ,

sin PBE = = = , sin BPE = = = ,

PQ = = = = .
Тогда
=PQ=PE = .
Значит,
FM = FN = a-x = a-.
Следовательно,
R=OM= = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8400