Задача 110288

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Через центр сферы радиуса R проведены три попарно перпендикулярные плоскости. Найдите радиус сферы, касающейся всех этих плоскостей и данной сферы.

Решение

Пусть указанные плоскости пересекаются по прямым OA, OB и OC, где O ─ центр данной сферы радиуса R, OA = OB = OC. Если Q ─ центр сферы радиуса x, касающейся данной сферы в точке P, а также касающейся плоскостей AOB, AOC и BOC, причём плоскости AOB ─ в точке M, то QM ⊥ OM, и OQ = OP + QP (внешнее касание) или OQ = OP − QP (внутреннее касание).

Обозначим ∠QOM = α. В прямоугольном треугольнике QOM имеем соотношение QM = OQ sin α или x = (R ± x) sin α. Таким образом, для решения задачи достаточно найти sin α.

Для этого рассмотрим куб с вершиной O. Его диагональ, проведённая из вершины O, образует с плоскостями трёх граней, содержащих вершину O, угол, также равный α. Если ребро куба равно c, то

его диагональ равна c

√ 3

. Значит,

sin α =

c c√ 3

=

1 √ 3

.

Из уравнения x =

R ± x   √ 3

находим, что x =

(√ 3  ± 1)R 2

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8386