Задача 110287

Темы:    [ Конус ] [ Куб ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите ребро куба, одна грань которого принадлежит основанию конуса, а остальные расположены на его боковой поверхности, если радиус основания конуса равен r, а высота равна h.

Решение

Пусть вершины A, B, C и D куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром x лежат на основании конуса с вершиной P, а вершины A₁, B₁, C₁ и D₁ ─ на боковой поверхности конуса.

Так как точки A₁, B₁, C₁ и D₁ равноудалены от вершины конуса, то высота конуса проходит через центры M и M₁ квадратов ABCD и A₁B₁C₁D₁ соответственно. Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через точки A₁ и C₁. Получим равнобедренный треугольник PEF с основанием EF = 2r и высотой PM  h и вписанный в него прямоугольник AA₁C₁C, сторона AC которого лежит на основании EF, а вершины A₁ и C₁ ─ на боковых сторонах PF и PE соответственно. Из подобия треугольников PA₁C₁ и PFE следует, что

PM₁ PM

=

A₁C₁ EF

,    или

h − x h

=

x√ 2 2r

.

Из этого уравнения находим, что

x =

hr√ 2    h + r√ 2

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8385