Условие
Через середину высоты правильной четырёхугольной пирамиды
проведено сечение, перпендикулярное боковому ребру. Найдите площадь
этого сечения, если боковое ребро равно 4, а угол между
боковыми рёбрами, лежащими в одной грани, равен
.
Решение
Пусть
PABCD – правильная четырёхугольная пирамида с вершиной
P ,
M – середина её высоты
PO ,
F – основание перпендикуляра
опущенного из точки
M на боковое ребро
PC ,
BPC = 60
o .
Тогда
BC = PB = PC = 4, AC = 4
, OC = 2, OP = 2,
OPC = 45o, PM = MO = , MF = MP sin 45o = 1.
Стороны треугольника
APC равны 4, 4 и
4
. Поэтому
APC = 90
o .
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через
прямые
PA и
PC . Пусть
K – точка пересечения прямых
AC и
MF .
Так как
KMO = PMF = 45
o , то
OK = OM = ,
поэтому
K – середина отрезка
AO .
Плоскость, проходящая через точку
M перпендикулярно боковому
ребру
PC , проходит через точки
F и
K . Пусть эта плоскость пересекает
стороны основания
AB и
AD соответственно в точках
L и
N , а боковые
ребра
PB и
PD – соответственно в точках
Q и
T . Тогда по теореме
о трёх перпендикулярах
NL 
PC , поэтому
NL || BD . Значит,
NL – средняя линия треугольника
ABD . Отрезок
KM – средняя линия
треугольника
AOP , поэтому
KF || AB , а прямая
AP параллельна
секущей плоскости. Плоскость грани
APB проходит через прямую
AP ,
параллельную секущей плоскости, и пересекает эту плоскость по
прямой
LQ . Значит,
QL || AP . Аналогично,
NT || AP .
Кроме того,
QL = NT как средние линии треугольников
APB и
APD с
общим основанием
PA .
Так как
LQ || PA и
PA NL , то
NLQT – прямоугольник.
Следовательно,
SNLQFT = SNLQT + SΔ TQF =
= NL· LQ + 
TQ· MF = 2· 2 + · 2
= 5.
Ответ
5
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
7852 |
