Задача 110224
|
|
 |
Условие
В клетчатом квадрате 101×101 каждая клетка внутреннего квадрата 99×99 покрашена в один из десяти цветов (клетки, примыкающие к границе квадрата, не покрашены). Может ли оказаться, что в каждом квадрате 3×3 в цвет центральной клетки покрашена еще ровно одна клетка?
Решение
Пусть условие задачи выполнено.
Каждой покрашенной клетке A поставим в соответствие клетку B (отличную от A) того же цвета, находящуюся в квадрате 3×3 с центральной клеткой A. Заметим, что клетка A находится в квадрате 3×3 с центральной клеткой B, значит, клетка A поставлена в соответствие клетке B.
Таким образом, рассмотренное соответствие разбивает все покрашенные клетки на пары. Однако количество покрашенных клеток нечётно (оно равно 99²). Противоречие.
Ответ
Не может.
