ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110195
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно, что сумма цифр натурального числа N равна 100, а сумма цифр числа 5N равна 50. Докажите, что N чётно.


Решение

  Обозначим через S(A) сумму цифр числа A. Из рассмотрения сложения в столбик двух чисел A и B следует, что  S(A + B) ≤ S(A) + S(B),  причём равенство достигается в том и только в том случае, когда при сложении нет переносов через разряд.
  Тем самым, из условия задачи вытекает, что при сложении  5N + 5N = 10N  нет переносов через разряд, поскольку  S(10N) = S(N) = 100.  Но число 5N оканчивается на 5 или на 0 в случае соответственно нечётного и чётного N. Первый случай отпадает, так как возникает перенос в последнем разряде.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2005
Этап
Вариант 4
1
Класс
Класс 8
задача
Номер 05.4.8.5
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2005
Этап
Вариант 4
1
Класс
Класс 9
задача
Номер 05.4.9.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .