Задача 110188
|
|
 |
Условие
Каждую вершину трапеции отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину.
Докажите, что если получившиеся точки образуют четырёхугольник, то он также является трапецией.
Решение
Тогда отрезки BD и B'D' симметричны относительно AC, поэтому они равны и пересекаются на прямой AC, а именно в точке O пересечения диагоналей трапеции ABCD.
BO : OD = CO : OA из подобия треугольников AOD и COB. Поэтому B'O : OD' = BO : OD = CO : OA = C'O : OA', следовательно, треугольники A'OD' и C'OB' также подобны, и поэтому B'C' || A'D'.
Замечания
Из решения задачи 110176 следует, что если угол между диагоналями равен 60°, то при указанном отражении точки будут лежать на одной прямой.
