ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 110184
УсловиеНа клетчатой бумаге нарисован прямоугольник, стороны которого образуют углы в 45° с линиями сетки, а вершины не лежат на линиях сетки. Решение 1Допустим, это возможно для прямоугольника ABCD. Пусть AB – его наименьшая сторона. Выберем начало координат в узле сетки и направим оси координат вдоль линий сетки так, чтобы среди вершин прямоугольника вершина A имела наименьшую абсциссу, а вершина B – наименьшую ординату. Через Ax, Bx, Cx, Dx и Ay, By, Cy, Dy обозначим проекции вершин на оси (см. рис.). Абсциссы точек Ax, Bx, Cx, Dx и ординаты точек Ay, By, Cy, Dy – нецелые, так как вершины A, B, C, D не лежат на линиях сетки. Так как и AxDx = AD cos 45° ≥ AB cos 45° = AxBx, то точки на оси Ox лежат в порядке Ax, Bx, Dx, Cx. (Bx и Dx могут совпасть.)Точки на оси Oy лежат в порядке By, Ay, Cy, Dy. При этом AxBx = DxCx = ByAy = CyDy = AB cos 45°, BxDx = AyCy = (AD – AB) cos 45°. Через t1, t2, t3, t4, s1, s2 обозначим количество точек с целыми координатами соответственно на отрезках AxBx, ByAy, DxCx, CyDy, BxDx, AyCy. На отрезке AxBx ровно t1 целочисленных точек, поэтому сторона AB пересекает ровно t1 вертикальных линий сетки; на отрезке AyDy t4 + s2 целочисленных точек, следовательно, сторона AD пересекает ровно t4 + s2 горизонтальных линий сетки, и т.д. Таким образом, условие пересечения каждой стороной нечётного числа линий сетки эквивалентно нечётности чисел t1 + t2, t3 + t4, t1 + t4 + s1 + s2, t2 + t3 + s1 + s2. Лемма. Если два отрезка равной длины d расположены на числовой прямой так, что их концы нецелочисленны, то количества целых точек на этих отрезках отличаются не более чем на 1. Из леммы следует, что числа t1, t2, t3, t4 отличаются не более чем на 1, то есть равны t или t + 1, и также числа s1 и s2 равны s или s + 1. Так как t1 + t2 нечётно, то t1 ≠ t2. Пусть для определенности t1 = t, t2 = t + 1. Решение 2Предположим, такой прямоугольник ABCD существует. Пусть Отложим на сторонах AB и CD отрезки Тогда отрезки BB' и CC' пересекают по одной вертикальной и горизонтальной линии, а отрезок B'C' получается из BC переносом на вектор с целыми координатами. Поэтому прямоугольник AB'C'D также удовлетворяет условию. ОтветНе может. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|