|
|
 |
Условие
По двум пересекающимся дорогам с равными постоянными скоростями движутся автомобили "Ауди" и БМВ. Оказалось, что как в 17.00, так и в 18.00 БМВ находился в два раза дальше от перекрёстка, чем "Ауди". В какое время "Ауди" мог проехать перекрёсток?
Решение 1
Пусть в 17.00 "Ауди" (А) находился на расстоянии x, а БМВ (Б) – на расстоянии 2x от перекрестка (П), v – скорость автомобилей. Если бы в 17.00 А и Б уже проехали П, то в 18.00 они были бы на расстоянии x + v и 2x + v от П, но отношение этих расстояний не равно 2. Аналогично невозможно, чтобы в 18.00 автомобили двигались в сторону П. Значит, какой-то из них пересёк перекресток между 17.00 и 18.00. Это не мог быть Б, так как если А пересекает П позже, то в 17.00 Б ближе к П, чем А; а если А пересекает П раньше, то в 18.00 А находится дальше от П, чем Б. Значит, между 17.00 и 18.00 А пересёк П, а Б – нет.
Тогда в 18.00 А находился на расстоянии z – x от П, а Б – на расстоянии 2x – v (если он двигался в 18.00 к перекрёстку), либо 2x + v от П. В первом случае 2x – v = 2(v – x), то есть 3v = 4x. Во втором – 2x + v = 2(z – x), то есть v = 4x. Значит, в 18.00 А находился либо на расстоянии x/3, либо на расстоянии 3x от П и поэтому он пересек П либо в 17.45, либо в 17.15.
Решение 2
То, что дороги перпендикулярны, не имеет никакого значения: прямую, по которой движется БМВ (B) можно повернуть на 90°, при этом расстояние от B до перекрёстка не изменится. Сделать это можно так, что A ("Ауди") и B будут двигаться в одном направлении. Посмотрим на ситуацию с точки зрения водителей: автомобили стоят на месте, а точка перекрёстка (P) движется. В 17 и 18 часов точка P проходит через точки P1 и P2, которые делят отрезок AB в отношении 1 : 2 (внутренним и внешним образом соответственно). При этом AP1 = ⅓ AB, AP2 = AB, то есть AP1 : AP2 = 1 : 3. Значит, если точка P в 17.00 проходит через P1, а в 18.00 – через P2, то она пройдёт через точку A в 17.15. Если же P в 17.00 проходит через P2, а в 18.00 – через P1, то она пройдёт через точку A в 17.45.
Ответ
В 17.15 или в 17.45.
