Задача 110132
|
|
 |
Условие
Докажите, что стороны любого неравнобедренного треугольника можно либо все увеличить, либо все уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы получился прямоугольный треугольник.
Решение
Пусть a < b < c – длины сторон треугольника. Покажем, что найдётся такое число x, что отрезки длин a + x, b + x, c + x – стороны прямоугольного треугольника. Положим P(x) = (x + a)² + (x + b)² – (x + c)². Поскольку P(c – a – b) = (c – b)² + (c – a)² – ((c – a) + (c – b))² ≤ 0, трёхчлен P(x) имеет корни. Пусть x1 – больший корень P(x), тогда x1 ≥ c – a – b. Следовательно, a + x1 > a + (c – a – b) = c – b > 0. Поэтому искомый треугольник существует.
