Задача 110087

Темы:    [ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Храмцов Д.

Набор чисел a₀, a₁, ..., a_n удовлетворяет условиям:  a₀ = 0,  a_k+1 ≥ a_k + 1  при  k = 0, 1, ..., n – 1.  Докажите неравенство  

Решение

  Будем доказывать утверждение по индукции. База  (n = 1)  очевидна.
  Шаг индукции. Согласно предположению индукции    
  Таким образом, достаточно проверить, что     или что  

  Для доказательства последнего утверждения заметим, что  
  Суммируя полученные неравенства по k от 0 до n, придём к неравенству     что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2002
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	02.4.11.3