ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110044
Темы:    [ Взвешивания ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Среди 2000 внешне неразличимых шариков половина – алюминиевые массой 10 г, а остальные – дюралевые массой 9,9 г. Требуется выделить две кучки шариков так, чтобы массы кучек были различны, а число шариков в них – одинаково. Каким наименьшим числом взвешиваний на чашечных весах без гирь это можно сделать?


Решение

  Сравним массу каких-либо 667 шариков с массой других 667 шариков. Если массы этих двух кучек не равны, то требуемое достигнуто.
  Предположим, что указанные массы равны. Тогда масса 666 шариков, не участвовавших во взвешивании, не равна массе никаких 666 шариков, лежащих на одной чаше весов.
  В самом деле, если в каждой из взвешенных кучек имеется ровно k дюралевых шариков, то среди любых 666 шариков любой из этих кучек число дюралевых равно k или  k – 1.  При этом среди 666 шариков, не участвовавших во взвешивании, имеется ровно  1000 – 2k  дюралевых. Остается заметить, что ни равенство  k = 1000 – 2k,  ни равенство  k – 1 = 1000 – 2k  не может выполняться ни при каком целом k.


Ответ

Одним взвешиванием.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2000
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 00.4.9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .