Задача 109948

Темы:    [ Куб ] [ Полуинварианты ] [ Целочисленные решетки (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Храмцов Д.

Куб со стороной n ( n3 ) разбит перегородками на единичные кубики. Какое минимальное число перегородок между единичными кубиками нужно удалить, чтобы из каждого кубика можно было добраться до границы куба?

Решение

Покажем, что меньшего, чем (n-2)³, числа удаленных перегородок недостаточно.

Удалим все граничные кубики. Останется куб (n-2)×(n-2)×(n-2), разбитый перегородками на (n-2)³ кубиков. Теперь пространство разделено перегородками на (n-2)³+1 областей, считая внешнюю. Удаление одной перегородки уменьшает число областей не более, чем на 1. В конце число областей должно стать равным 1, поэтому придется удалить не менее (n-2)³ перегородок.

Этого количества хватает: достаточно из каждого неграничного кубика убрать нижнюю грань.

Ответ

(n-2)³.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1998
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	98.4.10.7