ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109907
Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Метод координат на плоскости ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Метод ГМТ ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Все вершины треугольника ABC лежат внутри квадрата K . Докажите, что если все их отразить симметрично относительно точки пересечения медиан треугольника ABC , то хотя бы одна из полученных трех точек окажется внутри K .

Решение

Пусть M(x0,y0) – точка пересечения медиан. Прямая x=x0 делит квадрат на две части. В одной из частей находится ровно одна вершина треугольника. Пусть ее координаты A(x1,y1) , а координаты двух других B(x2,y2) , C(x3,y3) . Тогда =+ и, значит, |x0-x1|=|x0-x2|+|x0-x3| . Поэтому после отражения относительно точки M точки B и C перейдут в полосу, ограниченную прямыми x=x0 и x=x1 . Проведя аналогичные рассуждения для y , получим, что какие-то две точки перешли в полосу, ограниченную прямыми y=y0 и y=y* (где y* – ордината одной из вершин треугольника). Одна из этих точек будет B или C , после отражения относительно M она, как мы доказали, останется внутри квадрата.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1997
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 97.4.11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .