Задача 109907

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Метод координат на плоскости ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Метод ГМТ ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Канель-Белов А.Я.

Все вершины треугольника ABC лежат внутри квадрата K . Докажите, что если все их отразить симметрично относительно точки пересечения медиан треугольника ABC , то хотя бы одна из полученных трех точек окажется внутри K .

Решение

Пусть M(x₀,y₀) – точка пересечения медиан. Прямая x=x₀ делит квадрат на две части. В одной из частей находится ровно одна вершина треугольника. Пусть ее координаты A(x₁,y₁) , а координаты двух других B(x₂,y₂) , C(x₃,y₃) . Тогда =+ и, значит, |x₀-x₁|=|x₀-x₂|+|x₀-x₃| . Поэтому после отражения относительно точки M точки B и C перейдут в полосу, ограниченную прямыми x=x₀ и x=x₁ . Проведя аналогичные рассуждения для y , получим, что какие-то две точки перешли в полосу, ограниченную прямыми y=y₀ и y=y^* (где y^* – ордината одной из вершин треугольника). Одна из этих точек будет B или C , после отражения относительно M она, как мы доказали, останется внутри квадрата.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1997
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	97.4.11.2