ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109881
Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Производная и кратные корни ]
[ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Многочлен P(x) степени n имеет n различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?


Решение

  Оценка. Между любыми двумя корнями дифференцируемой функции есть корень её производной. Значит, многочлен P'(x) (степени  n – 1)  имеет  n – 1  различных действительных корней, то есть не имеет кратных корней. Продолжая, получим, что тем же свойством обладают все производные многочлена P. Из этого следует, что из любых двух идущих подряд коэффициентов многочлена P хотя бы один не равен нулю. Действительно, если равны нулю коэффициенты при xk и xk+1, то у производной P(k) равны нулю свободный член и коэффициент при x. Но это значит, что 0 является кратным корнем P(k), что не так.
  Разобьём коэффициенты многочлена на пары (оставив при чётном n старший коэффициент без пары). По доказанному число нулевых коэффициентов не превосходит числа пар, то есть  n/2  при чётном и  (n+1)/2  при нечётном n.
  Примеры. Многочлены  (x² – 1)(x² – 2²)...(x² – k²)  степени  n = 2k  и  x(x² – 1)(x² – 2²)...(x² – k²)  степени  n = 2k + 1  показывают, что улучшить этот результат нельзя: у первого коэффициенты при всех нечётных степенях, а у второго – при всех чётных степенях равны нулю.


Ответ

n/2  при чётном n,  (n+1)/2  при нечётном n.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1996
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 96.4.11.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .