ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109878
Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Можно ли в таблице 11×11 расставить натуральные числа от 1 до 121 так, чтобы числа, отличающиеся друг от друга на единицу, располагались в клетках с общей стороной, а все точные квадраты попали в один столбец?


Решение

Допустим, что такая расстановка возможна. Заметим, что столбец точных квадратов не может быть ни первым, ни последним, так как у точных квадратов 20 соседних чисел, а в одном соседнем столбце можно уместить только 11 чисел. Таким образом, после удаления столбца точных квадратов, таблица распадается на две непустые части, в каждой из которых число клеток кратно 11. Группа чисел между двумя последовательными квадратами попадает в одну из этих частей, при этом числа  m² – 1  и  m² + 1  попадают в разные части, поэтому такие группы чисел попеременно попадают то в одну часть таблицы, то в другую. Между m² и  (m + 1)²  имеется 2m чисел. Следовательно, в одну из частей попадет  2 + 6 + 10 + 14 + 18 = 50  чисел. Но 50 не кратно 11.


Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1995
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 95.4.9.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .