ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109864
Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Натуральные числа m и n таковы, что  НОК(m, n) + НОД(m, n) = m + n.  Докажите, что одно из чисел m или n делится на другое.


Решение 1

Положим  m = kdn = ld,  где  d = НОД(m, n).  Тогда  НОК(m, n) = kld  и, значит,  kld + d = kd + ld.  Отсюда  (k – 1)(l – 1) = 0,  то есть  k = 1  или  l = 1.  В первом случае  m = d,  и n делится на m; во втором случае – наоборот.


Решение 2

Поскольку  НОК(m, n)·НОД(m, n) = ab,  пары  (m, n)  и  (НОД(m, n), НОК(m, n))  являются парами решений квадратного уравнения  x² – (m + n)x + mn = 0,  то есть совпадают. Утверждение задачи теперь следует из того, что НОК(m, n) кратно НОД(m, n).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1995
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 95.4.10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .