Задача 109861

Темы:    [ Линейные рекуррентные соотношения ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Мусин О.

Числовая последовательность a₀ , a₁ , a₂ , такова, что при всех неотрицательных m и n ( m n ) выполняется соотношение

a_m+n+a_m-n=(a2m+a2n).
Найдите a1995 , если a₁=1 .

Решение

1995² . Полагая m=n , находим a₀=0 . Полагая n=0 , получим a_m+a_m=(a2m+a₀) . Отсюда

Пусть m=n+2 . Тогда a2n+2+a₂=(a2n+4+a2n) , и так как в силу 1 a2n+4=4a_n+2 и a2n=4a_n , то окончательно получаем:

С другой стороны, в силу 1 и условия a₁=1 , имеем:

Сравнивая 2 и 3, заключаем, что последовательность (a_n) удовлетворяет рекуррентному соотношению

a_n+2=2a_n+1-a_n+2
и начальным условиям a₀=0 , a₁=1 . Вычислив несколько первых членов последовательности: a₂=4 , a₃=9 , a₄=16 , приходим к предположению, что при всех n0 a_n=n² . Доказательство проведем по индукции. При n=0 и n=1 утверждение верно. Пусть оно верно при n=k-1 и n=k ( k1 ). Тогда
a_k+1=2a_k-a_k-1+2= 2k²-(k-1)²+2=(k+1)²,
т.е. утверждение верно и при n=k+1 . Следовательно, a1995=1995² .

Ответ

1995² .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1995
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	95.4.11.6