ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109839
Темы:    [ Периодические и непериодические дроби ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей – чисто периодические дроби с периодом T.
Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше T.


Решение

  Домножим наши две дроби a и b на число  10T – 1.  Получатся два новых рациональных числа  A = (10T – 1)a  и  B = (10T – 1)b.  Числа
A + B = (10T – 1)(a + b)  и  AB = (10T – 1)²ab  целые, так как чисто периодическая дробь с периодом T после домножения на  10T – 1  становится целым числом. Но два рациональных числа, сумма и произведение которых целые, являются корнями приведённого квадратного уравнения с целыми коэффициентами, то есть сами являются целыми числами (см. задачу 61013).
  Значит, a и b могут быть записаны в виде обыкновенных дробей со знаменателем  10T – 1,  откуда и следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2006
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 06.5.11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .