|
|
 |
Условие
Найдите наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы 2002 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр и в виде суммы 2003 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр.
Решение
Пусть для натурального числа n имеют место указанные представления: n = a1 + ... + a2002 = b1 + ... + b2003.
Воспользуемся тем, что каждое из чисел a1, a2002 даёт такой же остаток при делении на 9, что и сумма цифр; обозначим этот остаток через r (0 ≤ r ≤ 8), а соответствующий остаток для чисел b1, ..., b2003 – через s (0 ≤ s ≤ 8).
Тогда числа n – 2002r и n – 2003s кратны 9, а значит, и число
(n – 2002r) – (n – 2003s) = 2003s – 2002r = 2003(r + s) – 4005r кратно 9. Число 4005r также кратно 9, а число 2003 – взаимно просто с 9; отсюда следует, что число r + s кратно 9. Если при этом r = s = 0, то n ≥ 9·2003 (поскольку b1, ..., b2003 делятся на 9). Если же r ≠ 0, то r + s = 9, и потому r ≥ 5 или s ≥ 5 для числа n получаются неравенства n ≥ 5·2002 или n ≥ 5·2003 соответственно. А так как 10010 = 5·2002 = 4·2002 + 2002·1, и числа 4 и 2002 имеют одинаковую сумму цифр, то число 10010 – искомое.
Ответ
10010.
