ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 109732
УсловиеНа плоскости даны два таких конечных набора P1 и P2 выпуклых многоугольников, что любые два многоугольника из разных наборов имеют общую точку и в каждом из двух наборов P1 и P2 есть пара непересекающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.РешениеДля каждой из прямых, пересекающих все многоугольники набора P1 , проведем параллельную ей прямую через центр O некоторой окружности S . Обозначим через S1 множество точек пересечения этих прямых с S . Определим аналогично для набора P2 множество S2Покажем, что S1 Возьмем отрезок I , левый конец A которого является среди полученных отрезков самым правым. Пусть, например, I принадлежит P1' , тогда все отрезки P2' содержат точку A . Следовательно, прямая m , проходящая через точку A перпендикулярно l , пересекает все многоугольники набора P2 . В силу произвольности выбора прямой l получаем, что S1 Очевидно, все отрезки в P1' имеют общую точку и все отрезки в P2' имеют общую точку тогда и только тогда, когда точки окружности S , имеющие направление m , принадлежат как S1 , так и S2 . Но если все отрезки из P1' имеют общую точку и все отрезки из P2' имеют общую точку, то любые два отрезка из P1' Следовательно, прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно l , пересекает все многоугольники наборов P1 и P2 . Таким образом, утверждение задачи доказано, если S1 Покажем, что S1 Если S1 Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |