Задача 109715

Темы:    [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Голованов А.С.

Найдите сумму

Решение

Уберем первое слагаемое – оно равно 0 – и вместо суммы остальных 1000 слагаемых рассмотрим сумму

2/3+2² /3+2³/ 3+..+21000/3.
Это – сумма геометрической прогрессии, и она равна (21001-2)/ 3 . Теперь заменим все ее слагаемые целыми частями. Заметим, что ни одно из этих слагаемых не является целым, а сумма любых двух последовательных слагаемых – целое число (потому что 2^k/3+2^k+1/ 3=(3· 2^k )/3=2^k ). Ясно, что если сумма двух нецелых чисел – целое число, то сумма их целых частей меньше суммы самих чисел на 1 ( [α+β]=[[α]+{α}+[β]+{β}]= [α]+[β]+[{α}+{β}]=[α]+[β]+[1]= [α]+[β]+1 ). Поэтому при замене каждых двух последовательных членов нашей геометрической прогрессии целыми частями сумма уменьшается на 1, а так как в сумме всего 1000 слагаемых, то при замене целыми частями их всех она уменьшится на 500.

Ответ

(21001-2)/3-500.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2000
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	00.5.10.1