ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109666
Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Метод ГМТ в пространстве ]
[ Длины и периметры (геометрические неравенства) ]
Сложность: 5+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Карасев Р.

В тетраэдр ABCD , длины всех ребер которого не более 100, можно поместить две непересекающиеся сферы диаметра 1. Докажите, что в него можно поместить одну сферу диаметра 1,01.

Решение

Рассмотрим множества M центров сфер диаметра 1, лежащих в данном тетраэдре T . Так как M – множество точек, удаленных от всех граней T не менее, чем на 1/2 , то M – это тетраэдр с гранями, параллельными граням тетраэдра T , т.е. M и T гомотетичны. Центры вписанных сфер обоих тетраэдров совпадают, поэтому коэффициент k гомотетии равен , где r – радиус сферы, вписанной в T . С другой стороны, две сферы единичного диаметра не пересекаются, поэтому расстояние между их центрами не меньше 1, значит, длина одного из ребер тетраэдра M , содержащего эти центры, не меньше 1. Отсюда следует, что k (длины ребер тетраэдра T не больше 100), т.е. 1- , откуда 2r>1,01 . Итак, диаметр сферы, вписанной в T , больше 1,01, т.е. в качестве искомой можно выбрать сферу, вписанную в T .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 98.5.11.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .