Задача 109596

Темы:    [ Геометрическая прогрессия ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Голованов А.С.

Могут ли все числа 1, 2, 3 ... 100 быть членами 12 геометрических прогрессий?

Решение

  Покажем, что три различных простых числа не могут входить в одну геометрическую прогрессию. Предположим противное:  p₁ < p₂ < p₃  – простые числа,   p₁ = aq^k,  p₂ = aq^m,  p₃ = aqⁿ.  Тогда  p₂ = p₁q^m-k = q^s,  p₃ = p₂q^n–m = q^r.  Отсюда    что невозможно, так как r и s – натуральные числа.
  Но среди чисел от 1 до 100 содержится 25 простых чисел, а в одну прогрессию могут входить не более двух из них.

Ответ

Не могут.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1995
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	95.5.11.1