ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109595
Темы:    [ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Таблицы и турниры (прочее) ]
[ Двоичная система счисления ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В классе 16 учеников. Каждый месяц учитель делит класс на две группы.
Какое наименьшее количество месяцев должно пройти, чтобы каждые два ученика в какой-то из месяцев оказались в разных группах?


Решение

  Пример. На рисунке показано, как нужно разбивать класс на две группы так, чтобы каждые два ученика в какой-то из четырёх месяцев оказались в разных группах. Каждому ученику соответствует столбец таблицы, а каждому месяцу – её строка. Нуль, стоящий в клетке таблицы, означает, что данный ученик входит в первую группу, а единица означает, что данный ученик входит во вторую группу. Поскольку совпадающих столбцов нет, каждые два ученика хотя бы одни месяц из четырёх находятся в разных группах.

  Оценка. Докажем, что за три месяца выполнить условие нельзя. Составим аналогичную таблицу 3×16. В столбце можно расставить нули и единицы только 8 способами, поэтому найдутся два одинаковых столбца. Соответствующие этим столбцам ученики все три месяца попадают в одну группу.


Ответ

4 месяца.

Замечания

Идеология. В i-м столбце таблицы находится двоичная запись числа  i – 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1994
Этап
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 94.4.9.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .