Задача 109583

Темы:    [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Деление с остатком ] [ Подсчет двумя способами ] [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Прямоугольник m×n разрезан на уголки:

Докажите, что разность между количеством уголков вида a и количеством уголков вида b делится на 3.

Решение

  Ясно, что если прямоугольник m×n разрезан на уголки, то mn делится на 3. Пусть n кратно 3. Расставим в клетках прямоугольника числа так, как показано в таблице:

  Сумма всех этих чисел равна делится на 3. Сумма чисел, стоящих в уголке вида a, даёт при делении на 3 остаток 2; сумма чисел, стоящих в уголке вида b – остаток 1; суммы чисел, стоящих в уголках вида c и d, делятся на 3. Если n_a и n_b – количества уголков вида a и вида b соответственно, то сумма всех чисел в прямоугольнике имеет вид  3N + 2n_a + n_b = 3(N + n_b) + 2(n_a – n_b),  где N – некоторое целое число. Поэтому  2(n_a – n_b)  и, следовательно,  n_a – n_b  делится на 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1994
Этап
Вариант	4
класс
Класс	10
задача
Номер	94.4.10.4