ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109495
Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На параболе  y = x²  выбраны четыре точки A, B, C, D так, что прямые AB и CD пересекаются на оси ординат.
Найдите абсциссу точки D, если абсциссы точек A, B и C равны a, b и c соответственно.


Решение

Пусть l – ордината точки пересечения прямых AB и CD. Тогда прямая AB задается уравнением вида  y = kx + l,  поэтому числа a, b являются корнями уравнения  x² – kx – l = 0.  По теореме Виета их произведение равно – l. Аналогично произведение абсцисс точек C и D равно – l, и, следовательно, абсцисса точки D равна ab/c.


Ответ

ab/c.

Замечания

1. Утверждение задачи является аналогом теоремы о произведении отрезков хорд окружности в так называемой геометрии Галилея, о которой можно прочитать в брошюре А.В. Хачатуряна "Геометрия Галилея".

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 70
Год 2007
вариант
Класс 9
задача
Номер 2
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 28
Дата 2006/2007
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .