Задача 109415

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром b и углом γ между боковыми гранями.

Решение

Пусть F – основание перпендикуляра, опущенного из вершины B основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD на боковое ребро AD , M – центр основания ABC , K и L – середины сторон BC и AB основания. Так как прямая AK – ортогональная проекция наклонной AD на плоскость основания и AK BC , то по теореме о трёх перпендикулярах AD BC . Значит, прямая AD перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC и BF плоскости BFC . Поэтому AD – перпендикуляр к плоскости BFC , а BFC – линейный угол двугранного угла между боковыми гранями ABD и ACD . По условию задачи BFC = γ . Обозначим AB = BC = AC = a . Из прямоугольного треугольника DAL находим, что

DL = = .
Так как AD· BF = AB· DL , то
BF = = .
Из прямоугольного треугольника BFK находим, что
BK = BF sin BFK, или = · sin ,
откуда
a2 = , a = .
Из прямоугольного треугольника DAM находим, что
DM = = = =

=· = · = .
Следовательно,
V_ABCD = · · = · · · =

=.

Ответ

= .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8505