Задача 109411

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания a и углом γ между боковыми гранями.

Решение

Пусть F – основание перпендикуляра, опущенного из вершины B основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD на боковое ребро AD , M – центр основания ABC , K – середина стороны BC основания. Так как прямая AK – ортогональная проекция наклонной AD на плоскость основания и AK BC , то по теореме о трёх перпендикулярах AD BC . Значит, прямая AD перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC и BF плоскости BFC . Поэтому AD – перпендикуляр к плоскости BFC , а BFC – линейный угол двугранного угла между боковыми гранями ABD и ACD . По условию задачи BFC = γ . Из прямоугольного треугольника BKF находим, что

KF = BK ctg BFK = ctg .
Обозначим DAM = α . Из прямоугольного треугольника AFK находим, что
sin DAM = sin α = = = .
Далее находим
cos α = = = ,

tg α = = .

DM = AM tg α = · = .
Следовательно,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DM = · · = .

Ответ

= .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8501