Задача 109392

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания a и радиусом r вписанной сферы.

Решение

Пусть O – центр сферы радиуса r , вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду PABCD с вершиной P (рис.1), K – середина BC . Точка O лежит на прямой PM , где M – центр основания ABCD . Обозначим PM = h , PKM = β . Тогда KM = . Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки P , K и M (рис.2). Получим окружность радиуса r с центром O на прямой PM , касающуюся стороны KM угла PKM в точке M , а стороны PK – в некоторой точке N , причём KO – биссектриса угла PKM , а OM = r . Из прямоугольного треугольника OMK находим, что

tg OKM = tg = = = .
Поэтому
tg β = = = .
Из прямоугольного треугольника PMK находим, что
h = PM = KM tg PKM = KM tg β = · = .
Следовательно,
V_PABCD = S_ABCD· PM = a2h = a2· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8482