ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109358
Темы:    [ Свойства разверток ]
[ Неравенства с трехгранными углами ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды ABCD с основанием ABC равен α . Правильная усечённая пирамида ABCA1B1C1 разрезана по пяти рёбрам: A1B1 , B1C1 , C1C , CA и AB . После чего эту пирамиду развернули на плоскость. При каких значениях α получившаяся развёртка будет обязательно накрывать сама себя?

Решение

Поверхность данной усечённой пирамиды ABCA1B1C1 состоит из трёх равнобедренных трапеций и двух правильных треугольников (рис.1). Рассмотрим часть развертки, состоящей из треугольника A1B1C1 , трапеции AA1C1C , трапеции AA1B1'B' и трапеции B1'B'C'C1' (рис.2). Развёртка будет самопересекающейся, если пересекаются отрезки A1B1 и B1'C1' . Пусть M – точка их пересечения. Тогда A1M < A1B1 , а т.к. в треугольнике A1MB1' против большей стороны A1B1' лежит больший угол, то A1MB1' > A1B1'M . Далее имеем:

B1'A1C1 = A1B1'M = A1B1'C1' = 360o - BB'C' - BB'A1 =


= 360o - 2(180o - ) = 360o - 360o + 180o - α = 180o - α,


A1MB1' = 180o - B1'A1M - A1B1'C1' =


= 180o - (180o - α - 60o) - (180o - α) = 2α - 120o.

Из неравенства
180o - α < 2α - 120o

находим, что α > 100o . Так как сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360o , то 3α < 360o , откуда α < 120o .

Ответ

100o < α < 120o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8417

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .