Задача 109350

Темы:    [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Куб ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Дан единичный куб ABCDA1B1C1D1 , M – середина BB1 . Найдите угол и расстояние между прямыми AB1 и DM . В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезки DM и AB1 ?

Решение

Пусть M' – ортогональная проекция точки M на плоскость BCD1A1 , перпендикулярную прямой AB1 и пересекающую её в точке K – центре квадрата AA1B1B , а D' – ортогональная проекция точки D на эту плоскость (рис.1). Тогда D' – центр квадрата CC1D1D , D'M' – ортогональная проекция прямой DM на эту плоскость, причём M' лежит на A1B и M' – середина BK . Расстояние между прямыми AB1 и DM равно расстоянию от точки K до прямой D'M' . Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из точки K на прямую D'M' . Тогда KP – высота прямоугольного треугольника KM'D' , проедённая из вершины прямого угла (рис.2). Далее находим:

D'M' = = = ,

KP = KM'· = · = .
Угол α между прямыми AB1 и DM дополняет до 90^o угол между пересекающимися прямыми DM и D'M' (рис.3). Поэтому
sin α = cos (90^o - α) = = = .
Следовательно, α = 45^o . Пусть XY – общий перпендикуляр прямых AB1 и DM (точка X лежит на AB1 , Y – на DM ). Тогда KXYP – прямоугольник, PY || MM'|| DD' || AB1 . Значит,
= = = = 8.


Обозначим = , = , = , AB = x , AD = y , AA1 = z , где x = y = z = 1 . Тогда
= + , = - + ,
Пусть α – угол между прямыми AB1 и DM . Тогда
cos α = = =

= = = .
Значит, α = 45^o . Пусть XY – общий перпендикуляр прямых AB1 и DM (точка X лежит на AB1 , Y – на DM ), причём = и = μ . Тогда
= + + = (1 - ) + + μ =

= -(1 - )( + ) + + μ (- + ) =

= (-1+μ) + (1-μ) + ( -1+ μ)· .
Так как и , то · = 0 и · = 0 , или
((-1+μ) + (1 - μ) + ( -1 + μ))( + ) =

= (-1+μ) - ( -1+ μ) = 2+μ-2 = 0,

((-1+μ) + (1 - μ) + ( -1 + μ))(- + ) =

= ( -1 +μ) + (μ-1) + ( -1 + μ) = + μ - = 0.
Из системы

находим, что = , μ = . Поэтому
= (-1+μ) + (1 - μ ) + ( -1 + μ) = + - .
Следовательно,
XY = = = = ,

= = , = , = μ = , = 8.


Предположим, нам уже известно, что α = 45^o . Обозначим через V объём тетраэдра ADMB1 с вершиной D . Тогда
V= S_{Δ AMB}1· DA = · · 1 = .
С другой стороны, если d – искомое расстояние между прямыми AB1 и DM , то
V = AB1· DM · d sin α = · · · d · = .
Из уравнения = находим, что d= .

Ответ

45^o ; ; DY:YM = 8:1 ( Y на отрезке DM ). = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8409