ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 109349
УсловиеДан единичный куб ABCDA1B1C1D1 , M – середина BB1 . Найдите угол и расстояние между прямыми A1B и CM . В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезки CM и A1B ?РешениеПусть M' – ортогональная проекция точки M на плоскость B1C1DA , перпендикулярную прямой A1B и пересекающую её в точке K – центре квадрата AA1B1B , а C' – ортогональная проекция точки C на эту плоскость (рис.1). Тогда C' – центр квадрата CC1D1D , C'M' – ортогональная проекция прямой CM на эту плоскость, причём M' лежит на AB1 и M' – середина B1K . Расстояние между прямыми A1B и CM равно расстоянию от точки K до прямой C'M' . Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из точки K на прямую C'M' . Тогда KP – высота прямоугольного треугольника KM'C' , проведённая из вершины прямого угла (рис.2). Далее находим: Угол α между прямыми A1B и CM дополняет до 90o угол между пересекающимися прямыми CM и C'M' . Поэтому Следовательно, α = arcsin Обозначим Пусть α – угол между прямыми A1B и CM . Тогда Пусть XY – общий перпендикуляр прямых A1B и CM (точка X лежит на A1B , Y – на CM ), причём Так как Из системы находим, что = Следовательно, Предположим, нам уже известно, что sin α = С другой стороны, если d – искомое расстояние между прямыми BA1 и CM , то Из уравнения ОтветarccosИсточники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |