Задача 109348

Темы:    [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Куб ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Дан единичный куб ABCDA1B1C1D1 , M – середина BB1 . Найдите угол и расстояние между прямыми AB1 и CM . В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезки CM и AB1 ?

Решение

Пусть M' – ортогональная проекция точки M на плоскость CBD1A1 , перпендикулярную прямой AB1 и пересекающую её в точке K – центре квадрата AA1B1B (рис.1). Тогда CM' – ортогональная проекция прямой CM на эту плоскость, причём M' лежит на A1B и M' – середина BK . Расстояние между прямыми AB1 и CM равно расстоянию от точки K до прямой CM' . Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из точки K на прямую CM' . Обозначим BM'C = KM'P = ϕ . Из прямоугольных треугольников BM'C и KM'P (рис.2) находим, что

tg ϕ = tg BM'C = = = 2, cos ϕ = ,

sin ϕ = tg ϕ · cos ϕ = tg ϕ · = ,

KP = KM' sin KM'P = KM' sin ϕ = · = .
Угол α между прямыми AB1 и CM дополняет до 90^o угол между пересекающимися прямыми CM и CM' . Из прямоугольного треугольника MCM' находим, что
sin MCM' = = = .
Следовательно,
α = 90^o - MCM' = 90^o - arcsin = arccos .
Пусть XY – общий перпендикуляр прямых AB1 и CM (точка X лежит на AB1 , Y – на CM ). Тогда KXYP – прямоугольник, PY || MM' || AB1 (рис.3). Значит,
= = = + 1 = + 1 = + 1= 9+1=10,
причём точка Y лежит вне отрезка CM .

Обозначим = , = , = , AB = x , AD = y , AA1 = z , где x = y = z = 1 . Тогда
= + , = - + ,
Пусть α – угол между прямыми AB1 и CM . Тогда
cos α = = =

= = = .
Пусть XY – общий перпендикуляр прямых AB1 и CM (точка X лежит на AB1 , Y – на CM ), причём = и = μ . Тогда
= + + = - + + μ =

= -( + ) + + + μ(- + ) =

= (1 - ) + (1 - μ ) + (- + μ).
Так как и , то · = 0 и · = 0 , или
((1 - )· + (1 - μ ) + (- + μ))( + ) =

= (1 - ) + (- + μ) = -2 + μ + 1 =0,

((1 - ) + (1 - μ ) + (- + μ))(- + ) =

= (μ - 1) + (- + μ) = - + μ -1= 0.
Из системы

находим, что = , μ = . Поэтому
= (1 - ) + (1 - μ) + (- + μ) = - - .
Следовательно,
XY = = = = ,

=μ = , = 10, = = , = .


Предположим, нам уже известно, что sin α = . Обозначим через V объём тетраэдра ABCB1 с вершиной C . Тогда
V= S_{Δ AMB}1· CB = · · 1 = .
С другой стороны, если d – искомое расстояние между прямыми AB1 и CM , то
V = AB1· CM · d sin α = · · · d · = .
Из уравнения = находим, что d= .

Ответ

arccos ; ; = 10:1 ( Y вне отрезка CM ); = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8407