Задача 109328

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равно a, боковое ребро равно b. Найдите радиус шара, касающегося всех рёбер пирамиды.

Решение

Пусть DM ─ высота правильной треугольной пирамиды ABCD, r ─ искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр Q сферы, касающейся всех рёбер пирамиды, лежит на прямой DM, а точки касания сферы со сторонами основания совпадают с серединами этих сторон. Если K и L ─ точки касания сферы с рёбрами BC и DC соответственно, то

QL ⊥ CD,   CK =

a 2

= CL,   DL = CD − CL = b −

a 2

=

2b − a 2

.

Из прямоугольного треугольника DMC находим, что

DM =

√ CD² − CM²

=

√ b² −  ( a √ 3 ) ²

=

√ 3b² − a²      √ 3

.

Из подобия прямоугольных треугольников DLQ и DMC следует, что

QL DL

=

CM DM

.

Значит,

r = QL = DL ·

CM DM

=

2b − a 2

·

a √ 3       √ 3b² − a²       √ 3

=

a(2b − a) 2√ 3b² − a²

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8367