ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109318
Темы:    [ Касающиеся сферы ]
[ Касательные к сферам ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Стороны треугольника равны a, b, c. Три шара попарно касаются друг друга и плоскости треугольника в его вершинах. Найдите радиусы шаров.

Решение

Рис. 1
Рис. 2
Пусть шары радиусов x, y и z с центрами A₁, B₁ и C₁ касаются плоскости треугольника ABC со сторонами AB = c, AC = b и BC = a в вершинах A, B и C соответственно (рис. 1). Проведём плоскость через параллельные прямые CC₁ и BB₁. Получим две касающиеся окружности радиусов y и z и прямую, касающуюся этих окружностей в точках B и C (рис. 2), Из точки B₁ опустим перпендикуляр BF на прямую CC₁. Тогда

CF = |CC₁ − CF| = |CC₁ − BB₁| = |z − y|,

a² = BC² = BF² = BC₁² − CF² = (z + y)² − (z − y)² = 4yz.

Аналогично, b² = 4xz и c² = 4xy. Таким образом, мы получили систему уравнений относительно x, y и z:

 
yz = 
a²
4
,
xz = 
b²
4
,
xy = 
c²
4
.

Перемножив почленно второе и третье уравнения и разделив
результат на первое, получим, что x² = 
b²c²
4a²
. Следовательно,
x = 
bc
2a
. Аналогично, y = 
ac
2b
, z = 
ab
2c
.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8356

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .