Задача 109293

Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Скалярное произведение ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны a , b и c . Найдите угол между скрещивающимися диагоналями двух граней с общим ребром a .

Решение

Пусть ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, в котором AA1|| BB1|| CC1|| DD1 , AB = a , AD = b , AA1 = c . Найдём угол между диагональю A1C1 грани A1B1C1D1 и диагональю AB1 грани AA1B1B . Так как A1C1|| AC , то угол между скрещивающимися прямыми A1C1 и AB1 равен углу между пересекающимися прямыми AC и AB1 . Проведём сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через вершины A , B1 и C . Получим треугольник со сторонами

AC = , AB1 = , B1C = .
По теореме косинусов находим, что
cos CAB1 = =

= = > 0.
Следовательно, угол между прямыми A1C1 и AB1 равен
arccos .


Пусть ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, в котором AA1|| BB1|| CC1|| DD1 , AB = a , AD = b , AA1 = c . Обозначим = , = , = . Тогда
= + , = - .
Если γ – угол между прямыми A1C1 и AB1 , то
cos γ = = = > 0.
Следовательно,
γ = arccos .

Ответ

arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8315