ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109292
Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ]
[ Скалярное произведение ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны a , b и c . Найдите угол между диагональю параллелепипеда и скрещивающейся с ней диагональю грани со сторонами a и b .

Решение



Пусть ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, в котором AA1|| BB1|| CC1|| DD1 , AB = a , AD = b , AA1 = c . Найдём угол между диагональю B1D параллелепипеда и диагональю AC грани ABCD . Пусть M и N – середины рёбер AA1 и CC1 . Прямые MN и B1D пересекаются в центре O параллелепипеда. Проведём сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через пересекающиеся прямые B1D и NM . Получим параллелограмм B1MDN . Так как MN || AC , то угол между скрещивающимися прямыми B1D и AC равен углу между диагоналями B1D и NN параллелограмма B1MDN . По теореме косинусов из треугольника NOD находим, что

cos NOD = = =


= = .

Пусть β угол между прямыми B1D и AC . Если a b , то
β = arccos .

Если же a > b , то
β = arccos .



Пусть ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, в котором AA1|| BB1|| CC1|| DD1 , AB = a , AD = b , AA1 = c . Обозначим = , = , = . Тогда
= + , = - + - .

Если β – угол между прямыми AC и B1D , то
cos β = = = .


Ответ

arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8314

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .