ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109258
Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]
[ Объем призмы ]
[ Объем тетраэдра и пирамиды ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Плоскость, проходящая через ребро AD и середину E ребра BC тетраэдра ABCD , образует углы α и β с гранями ACD и ABD этого тетраэдра. Найдите объём тетраэдра, если известно, что AD = a , а площадь треугольника ADE равна S .

Решение

Достроим тетраэдр ABCD до треугольной призмы ABCDB1C1 (рис.1) ( AD || BB1 || CC1) . Через точку E проведём плоскость, перпендикулярную AD . Пусть эта плоскость пересекает прямые AD , BB1 и CC1 в точках M , P и Q соответственно. Тогда PQM – перпендикулярное сечение призмы ABCDB1C1 , точка E – середина PQ , EMQ = α , EMP = β . Объём призмы ABCDB1C1 равен произведению площади перпендикуляного сечения на боковое ребро, а объём пирамиды ABCD составляет треть объёма призмы. В треугольнике PQM (рис.2) известна медиана ME = = и углы, которые она образует со сторонами MQ и MP . На продолжении этой медианы за точку E отложим отрезок EN , равный ME . По теореме синусов из треугольника MPN находим, что

PM = = · .

Поэтому
SΔ PQM = SΔ MPN = PM· MN sin β = · · .

Следовательно,
VABCD = VABCDB1C1 = · · · a = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8047

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .