Задача 109254

Темы:    [ Равногранный тетраэдр ] [ Развертка помогает решить задачу ] [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Суммы плоских углов при каждой из вершин A , B и C тетраэдра DABC равны 180^o . Найдите расстояние между прямыми DA и BC , если BC = 4 , AC = 5 , AB = 6 .

Решение

Рассмотрим развёртку D1BD3AD2CD1 тетраэдра ABCD на плоскость треугольника ABC (рис.2), причём точки D1 , D2 и D3 – вершины треугольников с основаниями BC , AC и AB соответственно. Поскольку суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A , B и C тетраэдра ABCD равны по 180^o , точка A лежит на отрезке D2D3 , точка B – на отрезке D1D3 , а точка C – на отрезке D1D2 , причём A , B и C – середины этих отрезков, Поэтому AB , BC и AC – средние линии треугольника D1D2D3 . Значит, противоположные рёбра тетраэдра ABCD попарно равны. Поэтому грани тетраэдра – равные треугольники (по трём сторонам). Достроим тетраэдр ABCD до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей (рис.3). Поскольку противолежащие рёбра тетраэдра попарно равны, получим прямоугольный параллелепипед. Расстояние между его противоположными рёбрами равно боковому ребру. Пусть a , b и c – измерения параллелепипеда. Тогда

a2 + c2 = AC2 = 25, b2 + c2 = CD2 = 36, a2 + b2 = AD2 = 16.
Сложим почленно два первых равенства и от результата отнимем третье. Получим, что
c2 = = ,
а т.к. c – боковое ребро, равное общему перпендикуляру прямых AD и BC , то искомое расстояние равно 3 .

Ответ

3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8043