Задача 109251

Темы:    [ Равногранный тетраэдр ] [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Существует ли тетраэдр, у которого пары противоположных рёбер равны 12 и 12, 5 и 5, 13 и 13?

Решение

Предположим, что такой тетраэдр существует. Достроим его до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей. Поскольку противолежащие рёбра тетраэдра попарно равны, получим прямоугольный параллелепипед. Пусть его измерения равны AK=a , KB=b и AN=c . Тогда по теореме Пифагора

a2 + b2 = 25, a2 + c2 = 144, b2 + c2 = 169.
Сложим почленно два первых равенства и от результата отнимем третье. Получим, что a = 0 . Что невозможно.

Треугольник BAD – прямоугольный, т.к.
AB2+AD2= 25+144 = 169 = BD2.
Поэтому DA AB . Аналогично, AD DC , BC AB и BC CD . Значит, AD и BC – общие перпендикуляры скрещивающихся прямых AB и CD , что противоречит единственности общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.

Поскольку противоположные рёбра данного тетраэдра попарно равны, то он равногранный. Известно, что грани равногранного тетраэдра – остроугольные треугольники.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8040