Задача 109239

Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с углом α при вершине. Все двугранные углы при основании пирамиды равны β . Найдите объём пирамиды, если радиус окружности, описанной около треугольника основания, равен R , а высота пирамиды проходит через точку, лежащую внутри треугольника.

Решение

Пусть R – радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника ABC с углом α при вершине A (рис.2). Тогда

BC = 2R sin BAC = 2R sin α,

AB = AC = 2R sin ABC = 2R sin (90^o - ) = 2R cos .
Пусть O – центр окружности, вписанной в треугольник ABC , r – радиус этой окружности. Точка O лежит на биссектрисе AM , а т.к. треугольник ABC равнобедренный, его биссектриса AM является медианой и высотой, поэтому
r = OM = BM tg OBM = BC· tg =

= · 2R sin α tg (45^o - ) = R sin α tg (45^o - ).
Так как боковые грани данной пирамиды ABCD образуют равные двугранные углы с плоскостью основания, а высота проходит через точку, лежвщую внутри треугольника ABC , то эта точка – центр O окружности, вписанной в треугольник ABC . Таким образом, DO – высота пирамиды ABCD . Так как точка O лежит на высоте AM равнобедренного треугольника ABC , то по теореме о трёх перпендикулярах DM BC , поэтому DMO – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BDC . По условию задачи DMO = β . Из прямоугольного треугольника MOD находим, что
DO = OM tg DMO = r tg β = R sin α tg (45^o - ) tg β.
Следовательно,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DO = · AB2 sin α · DO =

= · (2R cos )2 sin α· R sin α · tg (45^o - ) tg β =

= R3 cos2 sin2 α tg β tg (45^o - ) =

=R3 tg β sin2α cos2 · = .

Ответ

R3 tg β sin2α cos3 tg (45^o- )= .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7937