Задача 109162
|
|
 |
Условие
Среди комплексных чисел p , удовлетворяющих условию |p – 25i| ≤ 15, найти число с наименьшим аргументом.
Решение
Все комплексные числа, удовлетворяющие условию |p – 25i| ≤ 15, изображаются точками, лежащими внутри и на окружности круга с центром в точке 25i и радиусом 15 (см. рис.). Наименьший аргумент будет у правой точки касания радиус-вектора и окружности. Найдём координаты точки P касания OP с окружностью. Из прямоугольного треугольника OPB, OP² = OB² – BP² = 25² – 15² = 20² (OB = 25, BP = 15), PA ⊥ OB. Из прямоугольного треугольника OPB: AP = BP·OP/OB , AO² = OP² – AP² = 256.
Ответ
12 + 16i.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Белорусские республиканские математические олимпиады |
| олимпиада | |
| Название | 14-я Белорусская республиканская математическая олимпиада |
| Год | 1964 |
| Номер | 14 |
| неизвестно | |
| Название | Задача 10.4 |
