ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109105
Тема:    [ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если прямая p образует равные углы с тремя попарно пересекающимся прямыми плоскости, то прямая p перпендикулярна этой плоскости.

Решение

Пусть прямая p пересекает плоскость α , содержащую данные прямые k , m и n , в точке O . Проведём через точку O прямые k1 , m1 и n1 , соответственно параллельные прямым k , m и n . Тогда прямая p образует равные углы с прямыми k1 , m1 и n1 . Поэтому произвольная точка A прямой p , отличная от O , равноудалена от этих прямых. Значит, ортогональная проекция A1 точки A на плоскость α также равноудалена от прямых k1 , m1 и n1 . Поэтому точка A1 лежит на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми k1 и m1 , на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми k1 и n1 , а также на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми m1 и n1 . Поскольку прямые k1 , m1 и n1 различны, то указанные биссектрисы имеют единственную общую точку O . Поэтому точка A1 совпадает с точкой O . Тогда прямая p совпадает с прямой AA1 . Следовательно, прямая p перпендикулярна плоскости α .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8180

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .