Задача 109099

Темы:    [ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ] [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Точка M равноудалена от трёх прямых AB , BC и AC . Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость ABC является центром вписанной окружности либо одной из вневписанных окружностей треугольника ABC .

Решение

Пусть M1 – ортогональная проекция точки M на плоскость ABC , P и Q – основания перпендикуляров, опущенных из точки M на прямые AB и AC . Так как M1P и M1Q – ортогональные проекции наклонных MP и MQ на плоскость ABC и MP AB , MQ AC , то по теореме о трёх перпендикулярах M1P AB и M1Q AC . Из равенства прямоугольных треугольников MM1P и MM1Q следует равенство отрезков M1P и M1Q . Значит, точка M1 равноудалена от прямых AB и AC . Следовательно, точка M1 лежит на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми AB и AC . Аналогично, точка M1 лежит на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми AB и BC , а также – на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми AC и BC . Если точка M1 лежит внутри треугольника ABC , то M1 – точка пересечения биссектрис углов треугольника ABC , т.е. центр окружности, вписанной в этот треугольник. Если точка M1 лежит вне треугольника ABC , то M1 – точка пересечения биссектрисы одного из внутренних углов треугольника ABC и биссектрис двух внешних его углов. В этом случае M1 – центр вневписанной окружности треугольника ABC .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8174