Задача 109087

Тема:    [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольнике ABCD даны стороны AB = 3 , BC = 4 . Точка K удалена от точек A , B и C на расстояния , 2 и 3 соответственно. Найдите угол между прямыми CK и BD .

Решение

В плоскости ABCD рассмотрим прямоугольник BCPQ , симметричный данному прямоугольнику ABCD относительно прямой BC . Обозначим KQ = x . Отрезок KB – медиана треугольника AKQ . По формуле для медианы

KB2 = (2KA2 + 2KQ2 - AQ2),
или
4 = (2· 10 + 2· x2 - 36),
откуда находим, что x = 4 . В треугольнике KQC известно, что
CQ = BD = 5, KC = 3, KQ = 4.
Значит, треугольник KQC – прямоугольный,
CKQ = 90^o, sin KCQ = = .
Поскольку CQ || BD , угол между прямыми CK и BD равен углу KCQ , т.е. arcsin .

Ответ

arcsin .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8152