Условие
Рассмотрим скрещивающиеся прямые
a и
b . Проведём через
прямую
a плоскость, параллельную
b , а через
b – плоскость,
параллельную
a . Возьмём точку
M , не лежащую в проведённых
плоскостях. Докажите, что две плоскости, одна из которых проходит
через
a и
M , а вторая – через
b и
M , пересекаются по прямой,
пересекающей прямые
a и
b .
Решение
Пусть
α – плоскость, проходящая через прямую
a параллельно
прямой
b ,
β – плоскость, проходящая через прямую
b параллельно
прямой
a ,
M – точка, не лежащая в плоскостях
α и
β ,
α1
– плоскость, проходящая через точку
M и прямую
a ,
β1
– плоскость, проходящая через точку
M и прямую
b ,
c – прямая пересечения плоскостей
α1
и
β1
.
Прямые
c и
a лежат в плоскости
α1
. Предположим, что
c || a .
Тогда прямая
c параллельна плоскости
α , а значит, и плоскости
β . Плоскость
β1
проходит через прямую
c , параллельную плоскости
β , и пересекает эту плоскость по прямой
b . Поэтому
c || b .
Следовательно,
a || b , что противоречит условию задачи. Таким
образом, прямая
c пересекает прямую
a . Аналогично докажем, что
прямая
c пересекает прямую
b .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8140 |
