Задача 109031

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Доказать, что площадь прямоугольника, вписанного в треугольник, не превосходит половины площади этого треугольника.

Решение

  Рассмотрим сначала случай, когда треугольник ABC прямоугольный и в него вписан прямоугольник DEFC так, что одна вершина прямоугольника совпадает с вершиной прямого угла треугольника, две другие вершины лежат на катетах и четвёртая – на гипотенузе (см. рис.). Обозначим  AC = b,
BC = a,  CD = EF = b₁,  DE = CF = a₁.  Из подобия треугольников ADE и ACB имеем  DA : AC = ED : BC,  или  (b – b₁) : b = a₁ : a,  откуда  b₁ = ^(a–a₁)b/_a.  Площадь прямоугольника равна  a₁b₁ = ^{a₁b(a–a₁)}/_a ≤ ^b/_a(^a/₂)² = ¼ ab = ½ S_ABC.

  В общем случае опустим из вершины B треугольника ABC, противоположной той, на которой лежат две вершины прямоугольника, высоту BH. Получим два прямоугольных треугольника, в которые вписаны прямоугольники, как и в предыдущем случае. Поэтому удвоенная площадь прямоугольника не превосходит  S_ABH + S_HBC = S_ABC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1966
Название	16-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Номер	16
Задача
Название	Задача 8.2