Задача 109016

Темы:    [ Неравенство Коши ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Дано четыре положительных числа a, p, c, k, произведение которых равно 1. Доказать, что  a² + p² + c² + k² + ap + ac + pc + ak + pk + ck ≥ 10.

Решение

  Первый способ. Согласно неравенству Коши     По тому же неравенству     Сложив почленно два полученных неравенства, получим требуемое.

  Второй способ.  ap + ck = ap + ¹/_ap ≥ 2,  аналогично,  ac + ck ≥ 2,  ak + pc ≥ 2.  Кроме того,  a² + p² + c² + k² ≥ 2(ap + ck) ≥ 4.
Осталось сложить все четыре неравенства.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	14-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1964
Номер	14
Задача
Название	Задача 9.5