ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109010
Темы:    [ Диаметр, основные свойства ]
[ Окружности (построения) ]
[ Построение треугольников по различным элементам ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности O и O1 пересекаются в точке A . Провести через точку A такую прямую, чтобы отрезок BC , высекаемый на ней окружностями O и O1 , был равен данному.

Решение

Пусть задача решена. Отрезок BC прямой, проходящей через точку пересечения двух окружностей A , равен данному отрезку a . Опустим из центров окружностей O и O1 перпендикуляры OE и O1F на эту прямую. Из центра O1 проведем прямую O1K , параллельную EF (рис.). EFO1K – прямоугольник, KO1=EF, EF=EA+AF, BE=EA, AF=FC , так как хорды делятся перпендикулярными к ним радиусами пополам. Поэтому EF=BE+FC=a/2 . Построение сводится к построению прямоугольного треугольника KOO1 по гипотенузе OO1 и катету KO1=EF=a/2 . Построив этот треугольник, проводим искомую прямую параллельно O1K через точку A или опускаем из точки A перпендикуляр на OK . Поскольку по одну сторону от данного отрезка OO1 можно построить два равных симметричных прямоугольных треугольника, то задача имеет два решения. Два решения будет и в том случае, когда получится только один равнобедренный треугольник, так как в этом случае его катеты равноправны и условию задачи будет удовлетворять перпендикуляр, опущенный на каждый из катетов. Построение возможно, если возможно построение прямоугольного треугольника, т. е. если a/21 . В случае a/2=OO1 решение также возможно, но оно будет единственным. Это будет прямая, проходящая через точку А параллельно линии центров.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название 14-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год 1964
Номер 14
Задача
Название Задача 8.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .